** QCM

Un QCM comporte `n`  questions indépendantes. Pour chaque question, sur les quatre réponses proposées, une seule est exacte. Un étudiant ne connaissant aucune réponse décide de répondre au hasard à toutes les questions.

1. On note  `X` la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses données  par l'étudiant.
    a. Quelle est la loi suivie par X ?
    b. Déterminer son espérance.
    c. Combien doit-il y avoir de questions pour que notre étudiant soit sûr à 99 % de sauver l'honneur ? (c'est-à-dire de donner au moins une bonne réponse)

2. On suppose dans cette question que `n=10` . Une bonne réponse rapporte 1 point et une mauvaise réponse enlève 0,5 point. Notre étudiant, plutôt joueur (ou pas très malin ?), répond toujours à toutes les questions. On note  `N` la variable aléatoire égale à la note (sur 10) de l'étudiant.
    a. Exprimer  `N`  en fonction de  `X`
    b. En déduire  `E(N)` . La stratégie de l'étudiant est-elle judicieuse ?

3. Afin d'éviter toute anomalie lors de la saisie des notes, le professeur décide de ramener toute note négative à 0. On note  `T` la variable aléatoire égale à la note (sur 10) de l'étudiant après cet ajustement.
    a. Quelle est la probabilité que l'étudiant ait une note non nulle ?
    b. Déterminer  `E(T)`  puis interpréter cette espérance dans le contexte de l'exercice.